PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Cuando vamos a resolver una ecuación diferencial de primer orden de valor inicial esta sujeta a la condición inicial  de los parámetros en los que existe una x para esta y en particular, en la práctica lo que se hace es sustituir los valores iniciales dados en la familia uniparametrica  de las soluciones de la EDO, y encontrar el valor correspondiente del parametro. Y dar la solucion de este valor prticular el parametro.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sóla variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en élla.

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA

Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X₀,Y₀) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X₀,Y₀), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones, las ecuaciones diferenciales en la ingeniería  se usan para realizar operaciones complicadas para representarlas con simples ecuaciones de una sola variable. Estas aplicaciones se pueden ver más que nada en la medición de fenómenos  físicos que ocurren en la maquinas u materiales.